SCAPAI:
STATISTICAL CONTROL FOR AUTOCORRELATED PROCESSES- ATTRIBUTE
INSPECTION
Um
Programa Computacional para Controle Estatístico de Processos
Autocorrelacionados
Desenvolvido por:
Sueli Aparecida Mingoti
Julia Pinto de Carvalho
Departamento de Estatística – UFMG
APOIOS FINANCEIROS: CNPq e FAPEMIG.
O
Controle de Qualidade de Processos Autocorrelacionados
1.0
Introdução
Vários processos são monitorados através da observação do número
de ítens não-conformes gerados pelo processo ou através da proporção de
ítens não-conformes. Neste caso, temos
a situação clássica do tipo de resposta binária: X=0
("passa") e X=1
("não passa"), sendo portanto o "número
total de defeituosos" do processo ou de uma amostra do processo visto
como tendo uma distribuição Binomial. A metodologia de estatística clássica
para estas situações é a construção de gráficos de controle cujos
limites são determinados através da aproximação da distribuição Binomial
pela distribuição Normal, o que pode ser feito sob determinadas condições,
ou através do uso da distribuição de Poisson (Montgomery, 1996).
Para processos com um número de defeituosos bem próximo de zero os gráficos
de controle fundamentados nesta metodologia clássica têm pouca utilização
prática uma vez que devido ao baixo valor da proporção de defeituosos as
correções que são efetuadas nos limites de controle via distribuição
normal ou via distribuições exatas de Binomial
e Poisson criam dois problemas: no primeiro caso a ocorrência de
"alarmes falsos" aumenta consideravelmente e no segundo os limites
de controle são sempre próximos de zero ou 1, o que inviabiliza o uso prático
dos gráficos. Alguns trabalhos interessantes que abordam formas alternativas
de monitorar o processo neste caso, são: Goh & Xie (1995),
Xie & Goh (1992 ), Xie et.
al. (1995), Lai, Xie & Govindaraju (2000). Um outro problema refere-se
a situações nas quais as unidades amostrais são correlacionadas. A teoria
clássica de controle de qualidade assume que as unidades amostrais (ou seja
os itens produzidos) são independentes em relação ao estado de ser
"conforme"ou "não conforme". No entanto, esta suposição
nem sempre é válida. Em Alwan e Roberts (1995) é mostrado que a correlação
entre unidades amostrais aparece com uma frequência bem maior do que se
pensa. Na realidade a correlação entre as unidades amostrais no que se
refere a variável resposta em estudo, tende a 1 quando o intervalo entre
inspeções tende a zero. Deste modo, uma das alternativas sugeridas para
tratamento da correlação é um maior espaçamento entre as unidades
amostrais (ou grupos racionais) selecionadas para inspeção. No entanto, esta
alternativa pode ocasionar grandes perdas financeiras uma vez que pelo fato de
se espaçar demais as inspeções demora-se mais para se detectar um problema
no processo, ou uma falta de controle no processo.
Outras formas de se tratar a existência de correlação é através do monitoramento do processo utilizando-se modelos estatísticos que permitem a introdução da correlação. A primeira delas refere-se ao trabalho de Bhat & Lal (1990) no qual os autores desenvolveram os limites de controle para monitoramento de atributos de processos correlacionados usando a teoria de Cadeia de Markov (Broadbent,(1958), Bhat & Lal, (1988), sendo que uma modificação foi sugerida por Lai, Xie & Govindaraju (2000) para processos com baixa fração de defeituosos. Uma outra proposta é aquela sugerida por Lai, Govindaraju & Xie (1998). Neste caso, aos autores sugerem o uso do modelo Binomial Generalizado, ou equivalentemente Binomial Correlacionado de Madsen (1993) para monitorar o processo, sendo que sob este modelo a estatística "número de ítens conformes testados até a aparição do primeiro ítem não-conforme" teria uma distribuição geométrica correlacionada. Em seu artigo Lai, Govindaraju & Xie (1998) mostraram os resultados de um estudo sobre o erro do tipo II (ou seja dizer que o processo "está sob controle" quando na realidade "não está") em situações nas quais o modelo probabilístico Binomial Generalizado é usado para o tratamento do número de ítens não-conformes do processo. Neste trabalho a correlação entre as unidades amostrais é suposta ser uma constante igual para todas as unidades e o estimador proposto para o coeficiente de correlação é o de Madsen (1993).
A diferença entre estas duas metodologias é bem clara. No caso de
Cadeias de Markov presume-se a inspeção serial das unidades do processo, e
portanto temos que manter a informação sobre o estado de cada item (isto é
se é "não conforme" ou "conforme"), na sequência exata
em que foi inspecionado. Já no modelo Binomial Generalizado a informação
necessária para sua implementação é aquela relacionada com o grupo
racional, ou seja, amostras de itens do processo são inspecionadas e em cada
amostra apenas o número de "não-conformes" precisa ser guardado.
Em ambas as metodologias, tanto na Cadeia de Markov quanto no modelo
Binomial Generalizado, a estimação do coeficiente de correlação tem um
papel fundamental. Bhat & Lal
(1990) mostram como estimar o coeficiente de correlação no caso de Cadeias
de Markov. Lai, Xie & Govindaraju (2000) mostraram propriedades do
estimador proposto e a construção de intervalos de confiança para a correlação
teórica do processo.
Para o modelo Binomial Generalizado o estimador de correlação
utilizado tem sido o de Madsen (1993). Novos
estimadores paramétricos, não-paramétricos e Bayesianos foram propostos
recentemente por Mingoti (2002) e implementados no programa SCAP
- Statistical Control for
Autocorrelated Processes - módulo AI.
O programa computacional SCAP -
módulo AI (Attribute Inspection) foi desenvolvido por Mingoti &
Carvalho (2001) com a finalidade de implementar os modelos estatísticos de
Cadeia de Markov e Binomial Generalizado para o monitoramento de processos
autocorrelacionados. O usuário pode estimar os parâmetros
do
processo tanto no caso de dados sequencias quanto
agrupados e pode construir os gráficos de controle de Shewhart para a proporção
e número de "não conformes" do processo. A proporção de defeitos
pode ser estimada no programa ou pré-especificada pelo usuário. O programa SCAP
funciona acoplado ao software estatístico
Minitab for Windows e tem uma boa
velocidade de processamento. A macro que implementa os procedimentos de estimação
é chamada de scapai.mac.
Algumas referências interessantes sobre processos autocorrelacionados são: Nelson (1994), Stimson & Mastrangelo (1996), Mingoti & Fidelis (2001), Sampath Kumar & Rajarshi (1987) e Neves & Mingoti (2001) & Mingoti (2003).
Para maiores detalhes técnicos sobre os estimadores que estão
implementados no SCAP - módulo AI
o usuário deverá olhar com cuidado o manual do usuário no qual
também encontrará exemplos de aplicação bem documentados.
Referências
Bibliográficas
1. ALWAN, L. C. e ROBERTS, H. V. The Problem of missplaced control limits. Applied Statistics, JRSS, Series C, 44, 3, 269-278, 1995.
2.
Bhat, U.N. & Lal, R. (1990) Attribute control charts for Markov dependent
3.
Bhat, U. N. & Lal, R. (1988)
Number of success in Markov trials. Advanced Applied Probability, 20, 677-680.
4.
Broadbent, S. R. (1958) The inspection of a Markov process. Journal
of Royal
5.
Goh, T. N. e Xie, M. (1995) Statistical process control for low nonconforming
processes,
6.
Lai, C. D., Govindaraju, K. e Xie, M. (2000) Study of a Markov model for a
high-quality
7.
Lai, C. D. & Xie, M Govindaraju, K. & Xie, M. (1998) Effects of
correlation on fraction
8.
Madsen, R. W. (1993) Generalized binomial distributions, Communications
in
9.
MINGOTI, S. A., CARVALHO, J.P.(2003) A cadeia de Markov no monitoramento, via
inspeção por atributos, de processos autocorrelacionados: o programa SCAP-módulo
AI. Anais do XXIII ENEGEP, Ouro Preto, Minas Gerais, (disponível para
download).
10.Mingoti,
S. A. & Carvalho, J.P. (2002)
O Programa SCAP para monitoramento
de processos autocorrelacionados e inspeção por atributos. Atas da III Jornada Regional
de Estatística e
11.Mingoti,
S.A. (2003) A note on the sample size required in sequential tests for
12.Montgomery,
D. C. (1996) Introduction to statistical
quality control. New York:
13.Nelson,
L. S. (1994) A control chart for
parts-per-million noncomforming
14.Sampath
Kumar, V. S. & Rajarshi, M. B. (1987) Continuous sampling plans for markov-dependent production
process, Naval Research Logistics, 34, 629-644.
15.Sprent,
P. (1989) Applied Nonparametric
statistical methods. New York: Chapman Hall.
16.Stimson,
W. A. & Mastrangelo, C. M.
(1996)
Monitoring serially dependent process with
attributes data, Journal of
Quality Technology, 28, 279-288.
17.Xie,
M. e Goh, T. N. (1992) Some procedures for decision making om high-yield
processes, Quality and Reliability
Engineering International, 8, 355-360.
18. Xie,
W. , Xie, M. & Goh, T. N. (1995) Control charts for processes subject