Probabilidade

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Estatística

Disciplina: Probabilidade (EST-032) - Turma TMC
Prof.: Frederico R. B. Cruz Período: 1º Semestre de 2024
Sala: 4069 (ICEx-Pampulha)

Divulgação: 09/04/2024

Entrega: 16/04/2024 (em PDF via Moodle)

Lista de Exercícios 5

Cap. 5 - Funções de Variáveis Aleatórias (Meyer, 1984)

(ex. 5.1 - solução analítica) Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre (-1, 1). Seja Y = 4 - X². Achar a fdp de Y, g(y), e fazer seu gráfico. Verifique também que g(y) é a fdp adequada.

(ex. 5.1 - solução computacional) Esta parte pressupõe o uso do software estatístico , que pode ser baixado diretamente da respectiva homepage. Material de referência pode ser encontrado na internet sem dificuldade (por exemplo, aqui).

baixe, instale e carregue o ;
O tem muitas funções para realizar cálculos de probabilidade, incluindo geração de números aleatórios de determinadas distribuições de probabilidade. Essas funções têm a seguinte forma geral:

letranome(argumentos separados por vírgulas)
em que letra indica a operação:

r, para geração de número aleatórios,
p, para calcular probabilidades acumuladas F(X ≤ x),
q, para calcular quantis da inversa de F(X ≤ x),
d, para calcular densidades de probabilidades, para variáveis aleatórias contínuas, e probabilidades, para variáveis aleatórias discretas,
e nome indica a distribuição de probabilidade:

binom, para a binomial,
nbinom, para a binomial negativa,
pois, para a Poisson,
unif, para a uniforme,
exp, para a exponencial,
norm, para a normal, entre outras.

gere 10000 valores de uma distribuição uniforme(-1,1), pelos comandos
set.seed(13579) x<-runif(10000,-1,1)
Obs.: O comando set.seed(13579) serve para inicializar a semente do gerador de números pseudo-aleatórios; dessa forma o seguinte resultado deverá ser produzido:
x [1] [1] -0.783063591 0.758435702 -0.789733828 ...

divida sua tela gráfica em uma matriz de 1 linha × 2 colunas, pelo comando
par(mfrow=c(1,2))

grafe o histograma da amostra gerada pelo comando:
hist(x,prob=T)

sobreponha o gráfico da f.d.p. da uniforme, via comando:
curve(dunif(x,-1,1),col=2,lty=1,lwd=2,add=TRUE)

faça a transformaçatilde;o Y=H(X) da variável aleatória X, via comando:
y<-4-x^2

grafe o histograma da variável transformada, pelo comando:
hist(y,prob=T)

sobreponha o gráfico da f.d.p. de y, g(y), encontrada por você, via comandos:
y<-seq(limiteInferior,limiteSuperior,length=100) gy<-... lines(y,gy,type='l',col=2,lty=1,lwd=2) onde limiteInferior e limiteSuperior serão determinados por você na parte analítica, assim com a função gy.
comente os resultados obtidos.
inclua no seu arquivo pdf, que será postado no Moodle:

os comandos testados,
os gráficos gerados e
seu comentários.
Cap. 6 - Variáveis Aleatórias de Duas ou mais Dimensões (Meyer, 1984)

(ex. 6.2) Suponha que a variável aleatória bidimensional (X, Y) tenha fdp conjunta
f(x,y) = kx(x-y), se 0 < x < 2, -x < y < x,
= 0, para quaisquer outros valores.

Calcule a constante k;
Ache a fdp marginal de X;
Ache a fdp marginal de Y.

(ex. 6.3) Suponha que a fdp conjunta da variável aleatória bidimensional (X, Y) seja dada por:
f(x,y) = x² + xy/3, 0 < x < 1, 0 < y < 2,
= 0, para quaisquer outros valores.
Calcule o seguinte:

P(X > 1/2);
P(Y < X);
P(Y < 1/2| X < 1/2).
Bibliografia:

Meyer, P. L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. 2^a Ed., Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1984. (livro texto)

Endereços:

Homepage do curso: http://www.est.ufmg.br/~fcruz/disciplinas/prob
E-mail do professor: fcruz@est.ufmg.br
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